Question

Как узнать, сколько корней имеет уравнение? К примеру x^7=x+6

Answer 1

Основная теорема алгебры. Уравнение n-го степеня имеет n корней. Иными словами: каков старший степень - столько и корней (действительные и комплексные)

Решим к примеру $x^7=x+6$ уравнение в действительных корнях.

Рассмотрим функцию $y=x^7$. Эта функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Также рассмотрим правую часть уравнения: функцию $y=x+6$. Графиком линейной функции является прямой, проходящей через точки (0;6), (-6;0).

графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один действительный корень и 6 комплексно-сопряженные корни.

Возьмем теперь к примеру уравнение $ax^2+bx+c=0,~~ ane0$

$D=b^2-4ac$

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корня.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равные корни.

Если D<0, то квадратное уравнение действительных корня не имеет, но имеет два комплексно сопряженных корня.