Question

указать наиболее целое значение параметра а, при котором уравнение
$2^{2x}+(a+1)*2^x+frac14=0$ имеет два различных корня

Answer 1

2^(2x) +(a+1)*2^x+1/4=0
Замена: 2^x =t, t>0
t^2+(a+1)t+1/4=0 | *4
4t^2+(4a+4)t+1=0
Должны выполнить условие: D>0
D=(4a+4)^2-4*4*1= (4a+4)^2-16>0; (4a+4-4)(4a+4+4)>0
4a(4a+8)>0 |:4
a(a+2)>0
a e (- беск.; -2)U(0; + беск.)
Второй промежуток отпадает,т.к. не содержит наибольшего целого значения "a". Во втором промежутке этому условию соответствует
"-3".
Сделаем проверку:
t^2 +(-3+1)t+1/4=0
t^2-2t +1/4=0 |:4
4t^2-8t+1=0
D=(-8)^2-4*4*1=48
t1= (8-V48)/8 = примерно 0,14 >0
t2= (8+V48)/8= примерно 1,9 >0
Условия того, что t>0 выполнены, значит исходное уравнение будет иметь два корня.

 

Answer 2

спасибо, я поняла. Если а из промежутка (0; + бескон) придать любому значению, то получиться, что t меньше 0. А у нас по условию больше нуля.

Answer 3

Да,верно.

Answer 4

Мне кажется,что тут надо поработать над коэффициентом при 2^x, т.е.(а+1): рассмотреть случаи - 1) a+1>0 2) a+1<0, a+1=0.

Answer 5

Или сделать проверку: убедиться, что второй промежуток нам не подходит, а значит условию удовлетворяет только первый промежуток.

Answer 6

Нет у меня возможности изменить решение. Жаль. Но дело вот в чем: итак, дано показательное уравнение с параметром. Мы сделали замену: 2^x=t, t>0. Поэтому, решив уравнение t^2+(a+1)t+1/4=0 относительно t, мы должны получить два положительных корня. Но для этого нужно выполнить 3 условия: D>0, ac>0, ab <0( a - старший коэффициент, а не параметр). Итак, D у нас больше нуля; ac = 1/4 >0, и наконец, ab=a+1<0, a<-1. А вот как раз это решение нам и дал промежуток (- беск.; -2). Вот и все)