Question

Решите неравенство (log2^2 x - 2log2 x )^2 + 36log2 x + 45<18log2^2 x

Answer 1

$displaystyle (log_2^2x-2log_2x)^2+36log_2x+45 textless 18log_2^2x$

$displaystyle (log_2^2x-2log_2x)^2-18(log_2^2x-2log_2x)+45 textless 0$

$displaystyle Log_2^2x-2log_2x=t$

$displaystyle t^2-18t+45 textless 0$

$displaystyle D=324-180=144=12^2 t_P1=15; t_2=3$

__+_____-_____+____ 
         3                15

$displaystyle left { {{Log_2^2x-2log_2x textless 15} atop {log_2^2x-2log^2x textgreater 3}} right.$

1) 
$displaystyle log_2^2x-2log_2x-15 textless 0$

$displaystyle D=4+64=64=8^2$

_+____-_____+____
    -3              5

$displaystyle -3 textless log_2x textless 5$

$displaystyle frac{1}{2^3} textless x textless 2^5$

2)
$displaystyle log_2^2x-2log_2x-3 textgreater 0$

$displaystyle D=4^2$

 __+___-____+___
       -1        3

$displaystyle left { {{log_2x textgreater 3} atop {log_2x textless -1}} right.$

$displaystyle left { {{x textless frac{1}{2}} atop {x textgreater 2^5}} right.$

Объединим все промежутки с учетом ОДЗ х>0


   \\\\\\\\\\             \\\\\\\\\\\\\\
            //////////////////////////////////////
  0      1/8      1/2          8          32

ОТВЕТ: (1/8; 1/2) ∪(8;32)