Question

При каких значения параметра a уравнение имеет три корня на отрезке [ 4π/3 ; 5π/3 ]

Answer 1

cos²3x=1-sin²3x, уравнение принимает вид

$sin^23x- frac{2a+1}{2}sin3x+ frac{a}{2}=0 \ \ t^2- frac{2a+1}{2}t+ frac{a}{2}=0$

$D=( frac{2a+1}{2})^2-4cdot frac{a}{2}= frac{4a^2+4a+1-8a}{4} = frac{4a^2-4a+1}{4} =( frac{2a-1}{2})^2 \ \ t_1= frac{ frac{2a+1}{2} - frac{2a-1}{2} }{2}= frac{1}{2} ;t_2= frac{ frac{2a+1}{2} + frac{2a-1}{2} }{2}= a ;$

Уравнение  sin 3x=1/2
имеет корни
3х=(π/6)+2πn   или  3х=(5π/6)+2πk,  n; k ∈Z.

x=(π/18)+(2π/3)n   или  х=(5π/18)+(2π/3)k,  n; k ∈Z.

Указанному промежутку принадлежат два значения
(π/18)+(2π/3)=13π/18  и (5π/18)+(2π/3)=17π/18.

Чтобы уравнение имело еще один корень, нужно, чтобы второе уравнение
sin3x=a
имело один корень.
Это возможно при а=1
3х=(π/2)+2π·m, m∈Z.

x=(π/6)+(2π/3)·m, m∈Z

Указанному промежутку принадлежит один корень

х=(π/6)+(2π/3)=5π/6=15π/18

О т в е т. при а=1  три корня (13π/18); (15π/18); (17π/18).

Answer 2

спасибо большое