Question

Решите логарифмические неравенства

Answer 1

1
ОДЗ
x+2>0⇒x>-2
x>0
2x+1>0⇒x>-0,5
x∈(0;∞)
log(3)[x(x+2)]<log(3)(2x+1)
x²+2x<2x+1
x²-1<0
(x-1)(x+1)<0
x=1  x=-4
-1<x<1
x⇒(0;1)
2
ОДЗ
49-x²≥0
(7-x)(7+x)≥0
x=7  x=-7
-7≤x≤7
x>0
x∈(0;7]
√(49-x²)≥0⇒log(5)x/(x-5)≥0
1)log(5)x≥0⇒x≥1
x-5>0⇒x>5
5<x≤7
2)log(5)x≤0⇒x≤1
x-5<0⇒x<5
0<x≤1
x∈(0;1] U (5;7]

Answer 2

1)
ОДЗ:  1) x+2>0       2) x>0       3) 2x+1>0
               x> -2                              2x> -1
                                                     x> -0.5
{x>-2
{x>0
{x> -0.5
В итоге x>0

x(x+2)<2x+1
x²+2x-2x-1<0
x²-1<0
(x-1)(x+1)<0
x=1    x= -1
    +               -                +
------- -1 ------------ 1 -----------
              \\\\\\\
x∈(-1; 1)

C учетом ОДЗ:
{x>0
{x∈(-1; 1)

x∈(0; 1)
Ответ: (0; 1).

2)
ОДЗ:   1) 49-x²≥0            2)  x>0              3) x-5≠0
               x²-49≤0                                          x≠5
              (x-7)(x+7)≤0
               x=7   x= -7
                +           -             +
          ------- -7 -------- 7 -----------
                       \\\\\ 
                 x∈[-7; 7]

{x∈[-7; 7]
{x>0
{x≠5

В итоге ОДЗ:  x∈(0; 5)U(5; 7].

√(49-x²)=0              log₅ x=0                    x-5=0
x₁=7                       x=1                            x=5
x₂= -7(не под-
ходит по ОДЗ)
          +              -                  +
 0 ---------- 1 ---------- 5 ------------ 7 
    \\\\\\                    \\\\\\\

х=6          √(49-6²)>0  (+)
                log₅ 6>0     (+)    ⇒ (+)
                6-5>0         (+)

x=2          √(49-2²)>0   (+)
                 log₅ 2>0     (+)   ⇒  (-)
                 2-5<0         (-)

x=0.5         √(49-0.5²)>0 (+)
                  log₅ 0.5<0     (-)  ⇒ (+)
                  0.5-5<0         (-)

x∈(0; 1]U(5; 7]

Ответ: (0; 1]U(5; 7].