Question

В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=75, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 9 в корне 69. Найдите sin угла АВС

Answer 1

Найдем $sin angle ABC$ как $cos angle A$ ($sin angle ABC = cos angle A$ так как $sin(90^{circ} - alpha) = cos alpha$, причем $angle ABC = 90^{circ} - angle A$).
Итак, наша задача найти $cos angle A$ это и будет $sin angle ABC$.
Рассмотрим $triangle ACH$. Он прямоугольный, так как $CH$ — высота. Найдем $cos angle A$. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Итак, прилежащий к углу $angle A$ катет — $AH$, он нам неизвестен, но мы его найдем. А гипотенуза — $AC$. Найдем неизвестный катет $AH$ по теореме Пифагора:
 $AH = sqrt{AC^2 - CH^2} = sqrt{75^2 - (9sqrt{69})^2}$
$= sqrt{5625 -81 * 69} = sqrt{5625 - 5589} = sqrt{36} = 6$.
Итак, $AH = 6$. Все данные для нахождения косинуса нам известны. Найдем его:
$cos angle A = frac{AH}{AC} = frac{6}{75} = 0.08$
$sin angle ABC = cos angle A = 0.08$
Это ответ.