Question

Помогите, очень нужно. Задания на фото. По сложности конец 11, профильный уровень.

Answer 1

$1); ; z=ysqrt{x}-y^2-x+6y\\ left { {{z'_{x}=frac{y}{2sqrt{x}}-1=0} atop {z'_{y}=sqrt{x}-2y+6=0}} right. ; left { {{sqrt{x}=frac{y}{2}} atop {frac{y}{2}-2y+6=0}} right. ; left { {{x=frac{y^2}{4}} atop { frac{3}{2}y=6}} right. ; left { {{x=4} atop {y=4}} right. ; to ; M_0(4,4)\\z''_{xx}=frac{y}{2}cdot (-frac{1}{2})cdot x^{-frac{3}{2}}=-frac{y}{4sqrt{x^3}}; ,; A=z''_{xx}(M_0)=-frac{4}{4sqrt{4^3}}=-frac{1}{8}$

 $z''_{xy}=frac{1}{2sqrt{x}}; ,$   $B=z''_{xy}(M_0)=frac{1}{2sqrt4}=frac{1}{4}$  

$z''_{yy}=-2; ,; ;C= z''_{yy}(M_0)=-2\\AC-B^2=-frac{1}{8}cdot (-2)-frac{1}{16}=frac{3}{16} textgreater 0; Rightarrow ; ; M_0; tochka; ; min$

$2); ; int frac{x+arctgx}{1+x^2} dx=frac{1}{2}int frac{2x, dx}{1+x^2}+int frac{arctgx}{1+x^2}dx=\\=frac{1}{2}ln(1+x^2)+frac{arctg^2x}{2}+C\\int x^2cdot sin3x, dx=\\=[, u=x^2,; du=2x, dx,; dv=sin3x, dx,; v=-frac{1}{3}cos3x]=\\=-frac{x^2}{3}cdot cos3x+frac{2}{3}int xcdot cos3x, dx=\\=[u=x,; du=dx,; dv=cos3x, dx,; v=frac{1}{3}sin3x]=\\=-frac{x^2}{3}cos3x+frac{2}{3}(frac{x}{3}sin3x-frac{1}{3}int sin3x, dx)=$

$=-frac{x^2}{3}cos3x+frac{2x}{9}sin3x+frac{2}{27}cos3x+C$