Question

помогите решить неравенство.

а)$sqrt{3x+1}+ sqrt{x-4}- sqrt{4x+5} textless 0$

б)$sqrt{ x^{2} -4x} textgreater x-3$

Answer 1

V - знак корня
1) V(3x+1) + V(x-4) - V(4x+5) <0
ОДЗ:
{3x+1>=0;  x>=-1/3
{x-4>=0;  x>=4
{4x+5>=0; x>=-5/4
x e [4; + беск.)
V(3x+1)+V(x-4)<V(4x+5)
Возведем обе части неравенства в квадрат:
3x+1+2V(3x+1)(x-4)  + x-4< 4x+5
4x-3+2V(3x+1)(x-4) < 4x+5
2V(3x+1)(x-4) < 4x+5-4x+3
2V(3x+1)(x-4) <8
V(3x+1)(x-4) <4
Снова возведем обе части неравенства в квадрат:
(3x+1)(x-4) <16
3x^2-12x+x-4 -16<0
3x^2-11x-20<0
3x^2-11x-20=0
D=(-11)^2-4*3*(-20)= 361
x1=(11-19)/6=-4/3
x2=(11+19)/6=5

______+_____(-4/3)___-______(5)____+____
                               /////////////////////
x e (-4/3; 5)
С учетом ОДЗ: x e [4; 5)

2)V(x^2-4x) > x-3
Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
{x-3<0                      {x-3>=0
{x^2-4x>=0               {x^2-4x>(x-3)^2
Решим первую систему совокупности:
{x<3
{x(x-4)>=0
_____________(3)____________
///////////////////////////
____+____(0)______-______(4)_+___
/////////////////////                              //////////////
x e (-беск.; 0)
Решим вторую систему  совокупности:
{x>=3
{x^2-4x>x^2-6x+9; x^2-4x-x^2+6x-9>0; 2x>9; x>4,5
_________[3]__________
                   ///////////////////////
______________(4,5)____
                               ////////////
x e (4,5; + беск.)
Ответ: x e (-беск.;0) U (4,5; + беск.)