Question

Решите уравнение$(t^2+2t)^2-(t+2)(2t^2-t)=6(2t-1)$

Answer 1

$(t^2+2t)^2-(t+2)(2t^2-t)=6(2t-1)^2\\ (t(t+2))^2-t(t+2)(2t-1)-6(2t-1)^2 |:(2t-1)^2\\ frac{(t(t+2))^2}{(2t-1)^2}- frac{t(t+2)(2t-1)}{(2t-1)^2}- frac{6(2t-1)^2}{(2t-1)^2}=0\\ ( frac{(t(t+2))}{(2t-1)})^2- frac{t(t+2)(2t-1)}{(2t-1)^2}- frac{6(2t-1)^2}{(2t-1)^2}=0\\ frac{t(t+2)}{2t-1}=y\\ y^2-y-6=0\\ D=1+24=25; sqrt{D}=5\\ y_{1/2}= frac{1pm5}{2}\\ y_1= frac{1-5}{2} = -frac{4}{2}=-2\\ y_2= frac{1+5}{2}= frac{6}{2}=3$

Обратная замена:

$frac{t(t+2)}{2t-1}=-2$

ОДЗ:
$2t-1neq0\ 2tneq1\ tneq frac{1}{2}$

$-2(2t-1)=t(t+2)\\ -4t+2=t^2+2t\\ t^2+2t+4t-2=0\\ t^2+6t-2=0\\ D=36+8=44; sqrt{D}=2sqrt{11}\\ t_{1/2}= frac{-6pm2sqrt{11}}{2}= frac{2(-3pmsqrt{11})}{2}=-3pmsqrt{11}\\ t_1=-3-sqrt{11}\\ t_2=sqrt{11}-3$


$frac{t(t+2)}{2t-1}=3$

ОДЗ:
$2t-1neq0\ 2tneq1\ tneq frac{1}{2}$

$3(2t-1)=t(t+2)\\ 6t-3=t^2+2t\\ t^2+2t-6t+3=0\\ t^2-4t+3=0\\ D=16-12=4; sqrt{D}=2\\ t_{1/2}= frac{4pm2}{2}=frac{2(2pm1)}{2}=2pm1 \\ t_1=2+1=3\\ t_1=2-1=1$

Ответ:  $boxed{t_1=-3-sqrt11; t_2=sqrt{11}+3; t_3=1; t_4=3}$

Answer 2

можно ли делить на (2t-1)^2, не зная, что оно не равно 0?