Question

Решите две задачи с объяснением.
1. Определите углы треугольника АВС, если известны координаты вершин: А(2,-1,3), В(1,1,1), С(0,0,5).

2. Покажите, что точки А(2,-1,-2), В(1,2,1), С(2,3,0) и D(5,0,-6) лежат на одной плоскости.

Answer 1

1.
AB = $sqrt{(2-1)^2+(-1-1)^2+(3-1)^2}$= 3
BC = $sqrt{(0-1)^2+(0-1)^2+(5-1)^2}= 3sqrt2$
AC = $sqrt{(0-2)^2+(0+1)^2+(5-3)^2}$= 3
Треугольник со сторонами, которые относятся как 1:1:√2 -- прямоугольный равнобедренный, т. е. имеет углы: 90°, 45°, 45°.

2.
Вектор АВ (-1, 3, 3).
Вектор АС (0, 4, 2).
Вектор АD (3, 1, -4).

Смешанное произведение этих векторов:
| -1  3   3 |
|  0  4   2 | = -1·(4·(-4) - 1·2) + 3·(3·2 - 4·3) = 18 - 18 = 0
|  3  1  -4 |

Смешанное произведение векторов АВ, AC и AD равно 0, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной плоскости.