Question

Это можно в человеческий вид привести?

 

8 + sin(36) * 8 / sin (72)

 

cos (36) * 8 + tg (72) / (sin(36) * 8)

Answer 1

По формуле двойного угла

sin(2a)=2*sina*cosa

$8+frac{8sin 36^0}{sin 72^0}=8+frac{8sin 36^0}{2sin 36^0cos 36^0}$

 

$8+frac{8sin 36^0}{2sin 36^0cos 36^0}=8+frac{4}{cos 36^0}$

 

Известно, что $cos36^0=frac{1+sqrt{5}}{4}$

 

$8+frac{4}{cos 36^0}=8+frac{4}{frac{1+sqrt{5}}{4}}$

 

$8+frac{4}{frac{1+sqrt{5}}{4}}=8+frac{16}{1+sqrt{5}}$

 

$8+frac{16}{1+sqrt{5}}=8+frac{16*(sqrt{5}-1)}{(1+sqrt{5})*(sqrt{5}-1)}$

 

$8+frac{16*(sqrt{5}-1)}{(1+sqrt{5})*(sqrt{5}-1)}=8+frac{16*(sqrt{5}-1)}{(sqrt{5})^2-1^2}$

 

$8+frac{16*(sqrt{5}-1)}{(sqrt{5})^2-1^2}=8+frac{16*(sqrt{5}-1)}{4}$

 

$8+frac{16*(sqrt{5}-1)}{4}=8+4(sqrt{5}-1)$

 

$8+4(sqrt{5}-1)=4+4sqrt{5}$

 

$4+4sqrt{5}=4*(1+sqrt{5})$

 

Во втором примере воспользуемся формулой

$tanalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}$

 

$8*cos 36^0+frac{tan 72^0}{8*sin 36^0}=8*frac{sqrt{5}+1}{4}+frac{frac{sin 72^0}{cos 72^0}}{8*sin 36^0}$

 

$8*frac{sqrt{5}+1}{4}+frac{frac{sin 72^0}{cos 72^0}}{8*sin 36^0}=2*(sqrt{5}+1)+frac{sin 72^0}{8sin 36^0cos 72^0}$

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{sin 72^0}{8sin 36^0cos 72^0}=2*(sqrt{5}+1)+frac{2sin 36^0cos 36^0}{8sin 36^0cos 72^0}$

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{2sin 36^0cos 36^0}{8sin 36^0cos 72^0}=2*(sqrt{5}+1)+frac{cos 36^0}{4cos 72^0}quad(2)$

 

Вычислим отдельно $cos 72^0=cos(2*36^0)$

 

По формуле двойного угла для косинуса

$cos2alpha=2cos^2alpha-1$

 

$cos(2*36^0)=2cos^2 36^0-1$

 

$2cos^2 36^0-1=2*left(frac{sqrt{5}+1}{4}right)^2-1$

 

$2*left(frac{sqrt{5}+1}{4}right)^2-1=frac{(sqrt{5}+1)^2}{8}-1$

 

$frac{(sqrt{5}+1)^2}{8}-1=frac{6+2sqrt{5}}{8}-1$

 

$frac{6+2sqrt{5}}{8}-1=frac{3+sqrt{5}}{4}-1$

 

$frac{3+sqrt{5}}{4}-1=frac{3+sqrt{5}-4}{4}$

 

$frac{3+sqrt{5}-4}{4}=frac{sqrt{5}-1}{4}$

 

Значит

 

$cos 72^0=frac{sqrt{5}-1}{4}$

 

Вернемся к (2)

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{cos 36^0}{4cos 72^0}=2*(sqrt{5}+1)+frac{cos 36^0}{sqrt{5}-1}$

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{cos 36^0}{sqrt{5}-1}=2*(sqrt{5}+1)+frac{sqrt{5}+1}{4(sqrt{5}-1)}$

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{sqrt{5}+1}{4(sqrt{5}-1)}=2*(sqrt{5}+1)+frac{(sqrt{5}+1)^2}{4(sqrt{5}-1)*(sqrt{5}+1)}$

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{(sqrt{5}+1)^2}{4(sqrt{5}-1)*(sqrt{5}+1)}=2*(sqrt{5}+1)+frac{(sqrt{5}+1)^2}{4*4}$

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{(sqrt{5}+1)^2}{4*4}=2*(sqrt{5}+1)+frac{(6+2sqrt{5})}{4*4}$

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{(6+2sqrt{5})}{4*4}=2*(sqrt{5}+1)+frac{(3+sqrt{5})}{8}$

 

$2*(sqrt{5}+1)+frac{(3+sqrt{5})}{8}=frac{(16+3+16sqrt{5}+sqrt{5})}{8}$

 

$frac{(16+3+16sqrt{5}+sqrt{5})}{8}=frac{(19+17sqrt{5})}{8}$