Question

При каких значениях b неравенство
$x^2+2ax+4bx+2a^2b+4b^2-2ab-6b+15 leq 0$
не имеет решений ни при каком значении а?

Answer 1

Перепишем:
$(x^2+4b^2+a^2+4bx+2ax+4ab)-a^2+2a^2b+\-6ab-6b+15leqslant 0$

В левой части неравенства угадывается формула квадрата суммы, всё, что осталось, переносим в правую часть.
$(x+2b+a)^2leqslant -(2b-1)a^2+6ab+6b-15$

Если нужно, чтобы у неравенства не было решений, правая часть должна была отрицательной:
$-(2b-1)a^2+6ab+6b-15<0\(2b-1)a^2-6ab+15-6b > 0$

Вспоминаем, что нужно найти такие b, чтобы такое неравенство выполнялось при всех a. Относительно a левая часть либо линейная функция (при b = 1/2), либо квадратичная.

Разбираем случаи:

1) b = 1/2. Тогда при всех a должно быть так:
$12-3a > 0$
Понятно, что это выполняется не при всех a, так что b = 1/2 в ответ входить не должно.

2) b не равно 1/2. Квадратный трёхчлен $(2b-1)a^2-6ab+15-6b$ должен принимать только положительные значения. Как известно, так будет, если: 1. Коэффициент при a^2 положительный и 2. Дискриминант отрицательный.

Первое условие:
$2b-1 > 0\b > dfrac12$

Второе условие:
$dfrac D4=9b^2+(6b-15)(2b-1) < 0\21b^2-36b+15 < 0\7b^2-12b+5 < 0\binleft(dfrac57,1right)$

Окончательно 5/7 < b < 1