Question

НАЙТИ ПРЕДЕЛ $lim_{n to infty} sqrt[3]{(n+2)^2} - sqrt[3]{(n-3)^2}$

Answer 1

Разность кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Домножаем и делим на (n+2)^4 + (n+2)^2*(n-3)^2 + (n-3)^4
$lim_{n to infty} ( sqrt[3]{(n+2)^2} - sqrt[3]{(n-3)^2} )=$
$=lim_{n to infty} frac{(n+2)^2-(n-3)^2}{ sqrt[3]{(n+2)^4} + sqrt[3]{(n+2)^2*(n-3)^2} + sqrt[3]{(n-3)^4}} =$
$= lim_{n to infty} frac{n^2+4n+4-n^2+6n-9}{(n+2)^{4/3}+(n+2)^{2/3}*(n-3)^{2/3}+(n-3)^{4/3}} =$
$lim_{n to infty} frac{10n-5}{(n+2)^{4/3}+(n+2)^{2/3}*(n-3)^{2/3}+(n-3)^{4/3}}$
Дальше делим все на n
$lim_{n to infty} frac{10-5/n}{n^{1/3}+n^{-1/3}*n^{2/3}+n^(1/3)}= frac{10-0}{oo+oo+oo}= frac{10}{oo}=0$

Answer 2

ну только "Домножаем и делим на (n+2)^(4/3) + (n+2)^(2/3)*(n-3)^(2/3) + (n-3)^(4/3)"