Question

СРОЧНО!! 100 БАЛЛОВ!! Надо дорешать задачу! Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями $y= 3^{x}$, $y= 9^{x}$, $x=1$. Надо ещё начертить график!

Answer 1

Находим точки пересечения графиков:
3ˣ=9ˣ
3ˣ=3²ˣ
х=2х
х=0
Поулчаем пределы интегрирования
х=0, второе значение х=1 - дано

$S= intlimits^1_0 {(9^x-3^x)} , dx =(frac{9^x}{ln9}- frac{3^x}{ln3})^1_0= (frac{9^1}{ln9}- frac{3^1}{ln3})-(frac{9^0}{ln9}- frac{3^0}{ln3}) = \ \ =(frac{9}{ln9}- frac{3}{ln3})-(frac{1}{ln9}- frac{1}{ln3}) = \ \=frac{8}{ln3^2}- frac{2}{ln3}=frac{8}{2ln3}- frac{2}{ln3} =frac{4}{ln3}- frac{2}{ln3} = frac{2}{ln3}$

Answer 2

Найдем отрезок на котором определенна фигура.
Для этого сравним 2 функции.

$3^x=9^x$
$3^x=3^{2x}$
$x=2x$
$x=0$
Последняя граница нам уже дана.
Поэтому имеем отрезок:
$[0,1]$
Отсюда определенный интеграл:
$intlimits^1_0 {9^x-3^x} , dx= frac{9^x}{ln 9}- frac{3^x}{ln 3}Big|_0^1=frac{9}{ln 9}- frac{3}{ln 3}-frac{1}{ln 9}+frac{1}{ln 3}=$
$frac{8}{2ln 3}- frac{3}{ln 3}+frac{1}{ln 3}= frac{4-3+1}{ln3}= frac{2}{ln3}$

График во вложении.

P.S.
Красный график $9^x$