Question

найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на данном промежутке f(x)=x^5-5x^4+5x^3+2 , [-1;2]

Answer 1

Вычислим значения функции в критических точках, для этого найдем производную: $f'(x)=5x^{4} -20 x^{3} +15 x^{2} =5 x^{2} ( x^{2} -4x+3)=0$ Уравнение имеет три корня: $5x^{2}=0$⇒$x=0$. Это первый корень, два других находим из квадратного уравнения: $x^{2} -4x+3=0$. Дискриминант здесь равен: $D=(-4)^{2} -4*1*3=4$; $x_{2} = frac{4-2}{2} =1$ $x_{3} = frac{4+2}{2} =3$ Из трёх критических точек, заданному отрезку принадлежат только две $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 1$, а $x_{3} = 3$ ∉[-1;2]. Находим значения функций в точках $x_{1} , x_{2}$. $f(0)=0-5*0+5*0+2=2$; $f(1)=1-5+5+2=3$. Вычислим значения функции на концах отрезка: $f(-1)=-1-5*1+5(-1)+2=-9$; $f(2)= 2^{5} -5* 2^{4} +5*2^{3} +2=32-80+40+2=-6$ Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее. Ими оказались $f(-1)=-9$ - наименьшее, а $f(1)=3$ - наибольшее.