Question

Найти угловые коэффициенты касательных к графику функции f(x)=-4/x, пересекающих прямую у=х в точке с абциссой х=-1

Answer 1

$y=-frac{4}{x}\y`(x)=(-frac{4}{x})`=(-4x^{-1})4x^{-2}=frac{4}{x^2}\\y=y(x_{0})+y`(x_{0})(x-x_{0})\y(x_{0})=-frac{4}{x_{0}}\\y`(x_{0})=frac{4}{x_{0}^2}\\y=-frac{4}{x_{0}}+frac{4}{x_{0}^2}(x-x_{0})=-frac{4}{x_{0}}+frac{4x}{x_{0}^2}-frac{4}{x_{0}}=frac{4x}{x_{0}^2}-frac{8}{x_{0}}$

 

Получили общее уравнение касательной(ных) : $y=frac{4x}{x_{0}^2}-frac{8}{x_{0}}$

 

Угловые коэффициенты $k=frac{4}{x_{0}^2}$

 

По условию, эти касательные пересекаются с прямой у=х в точке с абсциссой х=-1.

Запишем это:

$frac{4x}{x_{0}^2}-frac{8}{x_{0}}=x, x=-1\\frac{-4}{x_{0}^2}-frac{8}{x_{0}}=-1|*x_{0}^2\\-4-8x_{0}=-x_{0}^2\\x_{0}^2-8x_{0}-4=0\\D=80\\x_{0}_{1,2}=frac{8+-sqrt{80}}{2}=4+-2sqrt{5}$

 

$k_{1,2}=frac{4}{x_{0}^2}=frac{4}{(4+-2sqrt{5})^2}=frac{4}{16+-32sqrt{5}+80}=frac{4}{96+-32sqrt{5}}=frac{1}{24+-8sqrt{5}}=\\=frac{1}{8(3+-sqrt{5})}$

 

Это и есть искомые угловые коэффициенты