Question

помогите решить пожалуйста. Умоляю'.найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y=x^3 . Касательной к нему в точке x=1 и осью у

Answer 1

Находим уравнение касательной в точке х=1

 

$y=x^3\y`=3x^2\y`(1)=3*1^2=3\y(1)=1^3=1\y=y(x_{0})+y`(x_{0})(x-x_{0})\y=1+3(x-1)=1+3x-3=3x-2\y=3x-2$

 

Находим точки пересечения у=х^3 и касательной у=3х-2

 

$x^3=3x-2\x^3-3x+2=0\(x-1)(x^2+x-2)=0\(x-1)^2(x+2)=0\x_{1,2}=1, x_{3}=-2$

 

Находим площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^3, касательной у=3х-2 и осью у (х=0). Т.к. у=х^3 лежит выше у=3х-2, то:

 

$S=intlimits^1_{-2} {(x^3-(3x-2))} , dx= intlimits^1_{-2} {(x^3-3x+2)} , dx=\\=(frac{x^4}{4}-frac{3x^2}{2}+2x)|^1_{-2}=(frac{1}{4}-frac{3}{2}+2)-(frac{16}{4}-6-4)=\\=frac{1}{4}-frac{6}{4}+2+6=8-frac{5}{4}=6frac{3}{4}$