Question

Задача№1) В шар радиуса R вписан конус. Найти объем конуса, если угол при вершине его осевого сечения равен 2(альфа) Задача№2) В конус образующая которого равна 10 см, а радиус основания - 6 см, вписан шар. Вычислите объем этого шара.

Answer 1

Начну с задачи №2(она полегче)
Итак,чтобы решить эту задачу нам достаточно знать соотношение R/(H-R)=r/√H²-r²
Найдем H в треугольнике конуса:
H²=10²-6²
H=8см
Знаем,что r=6см
Можем находить радиус шара по формуле выше.
Когда подставим получаем,что:
6(8-R)=10R
48=16R
R=3см
Vшара=4*П*R³/3
Vшара=4*27П/3=36П см³
Ответ:36см³

Задача №1
 Vконуса=Sосн*H/3
Итак,  tgα=r/h  (из прямоугольного треугольника конуса)
r=tgα*H
Проведем из центра шара отрезок в любую вершину при основании, и видим:
(H-R)²=R²-tg²α*H²
 H=2R/(1+tg²α)
Sосн=П*r²=П*tg²α*H²=П*tg²α*4R²/(1+tg²α)²
Vконуса=Sосн*H/3=2*П*tg²α*R³ /(1+tg²α)³
Ответ: 2*П*tg²α*R³ /(1+tg²α)³