Question

Найти частное решение дифференциального уравнения:

$y = psi (x) ; psi (x=0) = -1 ;$

$y'_x = psi'_x (x) = f'_x (y) ;$

$| f'_x (y) | = sqrt{ 17 - y^2 } ;$

В ответе записать:

$y = psi (x) ;$

$y'_x = psi'_x (x) ;$

$y'_x = f'_x (y(x)) ;$

Answer 1

Возведём всё в квадрат:

$f'^2_x (y) = 17 - y^2 ;$

$f'^2_x (y) + y^2 = 17 ;$


Очевидное решение:

$y = psi (x) = sqrt{17} sin{ ( x - varphi_o ) } ,$

поскольку:

$y^2 = 17 sin^2{ ( x - varphi_o ) } ,$

$f'_x (y(x)) = y'_x (x) = psi'_x (x) = sqrt{17} cos{ ( x - varphi_o ) } ,$

$f'^2_x (y(x)) = 17 cos^2{ ( x - varphi_o ) } ,$

а стало быть, действительно:    $f'^2_x (y) + y^2 = 17 ;$


Найдём    $varphi_o .$

$psi (x=0) = sqrt{17} sin{ ( 0 - varphi_o ) } = -1 ;$

$sin{ varphi_o } = frac{1}{ sqrt{17} } ;$

$cos{ varphi_o } = sqrt{ 1 - ( frac{1}{ sqrt{17} } )^2 } = sqrt{ 1 - frac{1}{17} } = sqrt{ frac{16}{17} } = frac{4}{ sqrt{17} } ;$

$cos{ varphi_o } = frac{4}{ sqrt{17} } ;$

$tg{ varphi_o } = frac{ sin{ varphi_o } }{ cos{ varphi_o } } = frac{1}{4} ;$

$varphi_o = arctg{ frac{1}{4} } ;$

$y = psi (x) = sqrt{17} sin{ ( x - varphi_o ) } = sqrt{17} ( sin{x} cos{ varphi_o } - sin{ varphi_o } cos{x} ) = \\ = sqrt{17} ( frac{4}{ sqrt{17} } sin{x} - frac{1}{ sqrt{17} } cos{x} ) = 4 sin{x} - cos{x} ;$

$y = psi (x) = 4 sin{x} - cos{x} ;$

$y'_x = psi'_x (x) = 4 cos{x} + sin{x} ;$

$left{begin{array}{l} cos{ ( x - varphi_o ) } geq 0 ; Rightarrow f'_x (y(x)) = sqrt{ 17 - y^2 (x) } , \ cos{ ( x - varphi_o ) } < 0 ; Rightarrow f'_x (y(x)) = -sqrt{ 17 - y^2 (x) } ; end{array}right$

$left{begin{array}{l} x - varphi_o in [ -frac{ pi }{2} + 2 pi n ; frac{ pi }{2} + 2 pi n ] , n in Z ; Rightarrow f'_x (y(x)) = sqrt{ 17 - y^2 (x) } , \ x - varphi_o in ( frac{ pi }{2} + 2 pi n ; frac{3}{2} pi + 2 pi n ) , n in Z ; Rightarrow f'_x (y(x)) = -sqrt{ 17 - y^2 (x) } ; end{array}right$

$left{begin{array}{l} x in [ -frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ; frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ] , n in Z ; Rightarrow f'_x (y(x)) = sqrt{ 17 - y^2 (x) } , \ x in ( frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ; frac{3}{2} pi + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ) , n in Z ; Rightarrow f'_x (y(x)) = -sqrt{ 17 - y^2 (x) } ; end{array}right$


$f'_x (y,x) = left{begin{array}{l} x in [ -frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ; frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ] , n in Z ; Rightarrow = sqrt{ 17 - y^2 (x) } , \ x in ( frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ; frac{3}{2} pi + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ) , n in Z ; Rightarrow = -sqrt{ 17 - y^2 (x) } ; end{array}right$



О т в е т :

$y = psi (x) = 4 sin{x} - cos{x} ;$

$y'_x = psi'_x (x) = 4 cos{x} + sin{x} ;$

$y'_x = f'_x ( y ) = xi cdot sqrt{ 17 - y^2 } ,$    или:

$y'_x = f'_x ( 4 sin{x} - cos{x} ) = xi cdot sqrt{ 17 - ( 4 sin{x} - cos{x} )^2 } ,$    где:

$xi = left{begin{array}{l} x in [ -frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ; frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ] , n in Z ; Rightarrow = 1 , \\ x in ( frac{ pi }{2} + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ; frac{3}{2} pi + arctg{ frac{1}{4} } + 2 pi n ) , n in Z ; Rightarrow = -1 ; end{array}right$

или короче:    $xi = sign( cos{ ( x - arctg{ frac{1}{4} } ) } ) .$