Question

постройте график функции y=x^4-25x^2+144/x^2+x-12 и определите, при каких значениях параметра K прямая y=kx+3 имеет с этим графиком не более одной общей точки. Пожалуйста помогите с рисунком.

Answer 1

Сначала сокращаем функцию и находим те точки,которые мы обязаны выколоть:

Раскладываем числитель с заменой a=x²:
$a^2-25a+144=0 \ D=625-576=49 \ a_1= frac{25+7}{2} =16 \ a_2= frac{25-7}{2} =9$
Обратная замена:$x^2=a_1=16 \ x_{1,2}= frac{+}{} 4 \ x^2=a_2=9 \ x_{3,4}= frac{+}{} 3$

Итак,числитель имеет вид (x-4)(x+4)(x-3)(x+3).

Раскладываем знаменатель и выясняем,при каких значениях он равен нулю:
 $x^2+x-12=0 \ D=1+48=49 \x_1= frac{-1+7}{2} =3 \ x_2= frac{-1-7}{2} =-4$
Знаменатель имеет вид (x-3)(x+4). На будущем графике мы обязаны выколоть точки при x=3 и x=-4.

Сокращаем функцию:$y= frac{(x-3)(x+3)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+4)} =(x+3)(x-4)=x^2-x-12$

Строим график функции y=x²-x-12 с выколотыми точками (на рисунке это парабола синего цвета.Точки выколоты).
Мы обязаны знать и ординаты этих точек: При x=3 y=-6,при x=-4 y=8.
Определим функции прямых,которые будут иметь с графиком одну общую точку:
$y=kx+3 \ 1) 8=-4k+3 \ -4k=5 \ k=-1.25 \ 2)-6=3k+3 \ 3k=-9 \ k=-3$.
Прямые y=-1.25x+3(на рисунке красным цветом) и y=-3x+3(жёлтым) имеют с данным графиком одну общую точку. При остальных значениях k семейство прямых y=kx+3 имеет две общие точки.

P.S.: Надеюсь,всё понятно.

Answer 2

Да, спасибо больше