Question

Докажите, что неравенство верно при любых a,b,c:
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)>=8abc
Я доказала так:
1) 1+a^2>=2a
a^2-2a+1>=0
(a-1)^2>=0 (ист)
2) Аналогично 1+b^2>2b и 1+c^2>2c
Перемножила 3 неравенство и получила исходное, но это верно только при a,b,c>=0, т.к. если a, b или c - отрицательное, то произведение может быть отрицательным и, соответсвенно, неравенство неверно
Как доказать, что она верно при любых?

Answer 1

Докажем, что 1 + x^2 >= 2|x|: x^2 = |x|^2. Заменим x^2 на |x|^2: 1 + |x|^2 >= 2|x|. Перенесём всё в одну часть и выделим полный квадрат: (|x| - 1)^2 >= 0 - истина.
тогда:
1 + a^2 >= 2|a|
1 + b^2 >= 2|b|
1 + c^2 >= 2|c|
Перемножим (заметим, что обе части всех нер-в не отрицательны):
(1  +a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) >= 8|abc|, но т.к |x| >= x, то 8|abc| >= 8abc.

(1  +a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) >= 8|abc|
8|abc| >= 8abc
Значит (1  +a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) >= 8abc ч.т.д