Question

30 БАЛЛОВ! Исследовать ряд на сходимость. Решите пожалуйста, буква а, и б. прилагаются фото

Answer 1

a)$\Sigma \frac{1}{n^p}$- обобщенный гармонический ряд,
при p>1 - сходится
при p ≤ 1 - расходится
Данный ряд эквивалентен ряду:
$\Sigma \sqrt[4]{ \frac{n}{n^6} }=\Sigma \sqrt[4]{ \frac{1}{n^5} } ==\Sigma \frac{1}{n^{ \frac{5}{4} }}$
5/4 > 1 ряд сходится.
Значит и данный ряд сходится.
б) По признаку Даламбера:
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+1}\cdot \sqrt[3]{(n+1)^2}\cdot (n+1)!} {(n+2)!\cdot 5^n \cdot \sqrt[3]{n^2} }= \\ \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+2} \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{ (\frac{n+1}{n})^2 }=0\cdot1=0$
0<1
по признаку Даламбера ряд сходится

Answer 2

$1)\; \; \sum \limits_{n=1}^{\infty }\sqrt[4]{ \frac{n}{n^6+1} } \; \sim \sum _{n+1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[4]{n^5}}=\sum _{n+1}^{\infty }\frac{1}{n^{5/6}}\; -\; sxoditsya,t.k.\; 5/4\ \textgreater \ 1\\\\\lim\limits _{n\to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim\limits _{n\to \infty } \sqrt[4]{\frac{n}{n^6+1} }:\frac{1}{n^{5/4}}=1\ne 0\; \to \; oba\; sxodyatsya$

$2)\; \sum _{n=1}^{\infty } \frac{5^{n}\sqrt[3]{n^2}}{(n+1)!} \\\\\lim\limits _{n\to \infty } \frac{a{n+1}}{a{n}} =\lim\limits _{n\to \infty } \frac{5^{n+1}\sqrt[3]{(n+1)^2}}{(n+2)!} : \frac{5^{n}\sqrt[3]{n^2}}{(n+1)!} =\\\\=\lim\limits _{n\to \infty } \frac{5^{n}\cdot 5\cdot (n+1)!\; \sqrt[3]{(n+1)^2}}{y5^{n}\cdot (n+1)!\cdot (n+2)\; \sqrt[3]{n^2}}=\lim\limits _{n\to \infty } \frac{5}{n+2}=[\frac{5}{\infty }]=0 \ \textless \ 1\; \Rightarrow \; sxod.$