Question

помогите с решением тригонометрического уравнения ( напишите пожалуйста как решали)

Answer 1

Уравнение решается преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение. Воспользуемся формулой
$sin \alpha -sin \beta =2sin \frac{ \alpha - \beta }{2}cos \frac{ \alpha + \beta }{2}$
Получим
$2sin \frac{9x-5x}{2}cos \frac{9x+5x}{2}+sin4x=0$
$2sin2x*cos7x+sin4x=0$
Теперь воспользуемся формулой для синуса двойного угла
$sin2 \alpha =2sin \alpha *cos \alpha$
и подставим в наше уравнение вместо sin4x получим
$2sin2x*cos7x+2sin2x*cos2x=0$
Выносим 2sin2x за скобки
$2sin2x(cos7x+cos2x)=0$
Сумму косинусов в скобках преобразуем в произведение по формуле
$cos \alpha +cos \beta =2cos \frac{ \alpha + \beta }{2}*cos \frac{ \alpha - \beta }{2}$
Получим
$2sin2x(2cos \frac{7x+2x}{2}*cos \frac{7x-2x}{2})=0$
Отсюда получаем три уравнения, так как уравнение равно нулю если хотя бы один из множителей равен нулю:
$\left \{ {{sin2x=0} \atop {cos \frac{9x}{2} =0}} \atop {cos \frac{5x}{2} =0} \right.$
$\left \{ {{2x= \pi n} \atop { \frac{9x}{2} = \frac{ \pi }{2}+ \pi n }} \atop { \frac{5x}{2} = \frac{ \pi }{2}+ \pi n }}\right.$
$\left \{ {{x= \frac{ \pi n}{2} } \atop {x= \frac{ \pi }{9}+ \frac{2 \pi n}{9} }} \atop {x= \frac{ \pi }{5}+ \frac{2 \pi n}{5} }}\right.$