Question

Восстанови функции используя данные её производных, изображенных на графиках в приложении.

Answer 1

Вторая производная – прямая, задаваемая линейной функцией, имеет точки пересечения с осями Ox и Oy: ( 1; 0 ) и ( 0; –2 ) – соответственно:

Уравнение линейной функции    $y = kx + p \ .$

Составим систему уравнений,
подставив в уравнение прямой две указанные выше точки:

$\left\{\begin{array}{l} 0 = k \cdot 1 + p \ , \\ -2 = k \cdot 0 + p \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} 0 = k \cdot 1 + p \ , \\ -2 = p \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} 0 = k - 2 \ , \\ p = -2 \ ; \end{array}\right$

$( k; p ) = ( 2; -2 ) \ ;$

Итак, уравнение второй производной:    $f''_x (x) = 2x - 2 \ .$

Заметим, что третья производная будет иметь уравнение:    $f'''_x (x) = 2 \ ,$    что точно не соответствует графику    $y''' \ \Rightarrow \ \ f'''_x (x) = -6 \ ,$    а поэтому будем считать график    $y = -6 \ ,$    для третьей производной – данным в задании ошибочно.


Первая производная является одной из первообразных с неопределённым слагаемым для второй производной, а поэтому находится интегрированием:

$f'_x (x) = \int{ f''_x (x) } \, dx = \int{ ( 2x - 2 ) } \, dx = \int{2x} \, dx - 2 \int{dx} = x^2 - 2x + C_1 \ .$

При x = 0, что видно по графику:    $f'_x (x=0) = -4 \ ;$

Т.е.:    $f'_x (0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + C_1 = -4 \ ;$

$C_1 = -4 \ ;$

Итак, уравнение первой производной:    $f'_x (x) = x^2 - 2x - 4 \ .$


Функция является одной из первообразных с неопределённым слагаемым для своей производной, а поэтому находится интегрированием:

$f(x) = \int{ f'_x (x) } \, dx = \int{ ( x^2 - 2x - 4 ) } \, dx = \\\\ = \int{x^2} \, dx - \int{2x} \, dx - 4 \int{dx} = \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x + C \ .$

При x = 0, что видно по графику:    $f(x=0) = 0 \ ;$

Т.е.:    $f(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 - 2 \cdot 0 + C = 0 \ ;$

$C = 0 \ ;$

Итак уравнение функции:    $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x \ .$



О т в е т :    $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x \ .$


*** Если считать, что третья производная дана не "по ошибке", то у задачи НЕ СУЩЕСТВУЕТ решений.