Question

Интеграл dx/(5cos(x)+3) Помогите пожалуйста с решением. Во влажениях есть 3 решения в помощь. Но я в них не уверена. Ответ станный получается в двух из них. пример 1ого курса, 100% правильно написан.

Answer 1

в 3 вложении решение правильное,

в 1 ошибка при приведении к общему знаменателю (вынесли 1/5 не правильно)

2 вроде тоже правильно,

если в 3 "-" внести под логарифм, то отвенты 2 и 3 совпадут

 

Answer 2

я же уже решал вчера это...

http://znanija.com/task/1784197

Пояснение насчет подстановок:

$t(x) = tan frac{x}{2}\ t'(x) = dt/dx\ dt = t'(x)dx = frac{(frac{x}{2})'}{cos^2 frac{x}{2}}dx = frac{cos^2 frac{x}{2} + sin^2 frac{x}{2}}{2cos frac{x}{2}}dx = \ =frac{dx}{2}(1 + frac{sin^2 frac{x}{2}}{cos^2 frac{x}{2}}) = frac{dx}{2}(1 + tan^2 frac{x}{2})= frac{dx}{2}(1+t^2)\ dx = frac{2dt}{1+t^2}$

По формуле двойного угла:

$cos x = frac{1-tan^2frac{x}{2}}{1+tan^2frac{x}{2}} = frac{1-t^2}{1+t^2}$

 

Теперь загоняем все в интеграл

$int frac{dx}{5cos x+3}=int frac{frac{2dt}{1+t^2}}{5frac{1-t^2}{1+t^2}+3} = int frac{2dt}{5(1-t^2)+3(1+t^2)}=\ =int frac{2dt}{8-2t^2} = int frac{dt}{4-t^2} = -int frac{dt}{t^2-2^2} =\ =-frac{1}{4}lnfrac{|t-2|}{|t+2|} + C$

Далее вместо t подставляем тангенс половинного угла (из подстановки) и получаем окончательный ответ.

 

PS Ответ какой-то не очень красивый... если в условии поменять 3 и 5 местами, то ответ будет намного красивее, т.к. вместо логарифма появится arctg, который очень кстати будет для подстановки ;)

 

Второй и третий варианты правильные... первый (как и вчера) с ошибкой ;)