Question

Дима меняет число, записанное на доске, по следующим правилам: если число делится на 3, то он вычитает из него 2; если число дает остаток 1 при делении на 3, то он вычитает из него 1; если число дает остаток 2 при делении на 3, то он прибавляет к нему 2. Дима начинает с числа 1001. Какое число будет на доске после 500 таких операций?

Answer 1

a) если   к = 3m , то остаток при  делении  на 3  0 ⇒  на I операции  отнимаем  2  и  получим  3m-2, которое  при  делении  на  3  в  остатке  даст 1 ⇒ на  II операции  отнимаем 1 и  получим  3m-3
           3m-3 = 3(m-1)  ,  получили  первоначальное  условие  ⇒ 
     если  k=3m  то при  каждых  2  операций  число  уменьшится  на 3  ⇒ после   2r  операций  получим   N= 3(m-r)
б)  если  k=3m+1, то остаток =1, после  I  операции  n =3m  ⇒  получили  вариант  а)
в) если  k=3m+2, т.е.  остаток =2, то  после  I операции  получим  (3m+4) = 3(m+1) +1 = 3n+1 , т.е.  получили  вариант б)
                   1001 = 333·3 + 2   вариант  в)
                1) 1003 = 334·3+1    вариант  б)  m=334
                2) 1002 = 334·3        вариант  а)  m=334
 Из  500  операций  остался  498 =2·249 , т.е.  r = 249                                 ⇒  N = 3·(m-r) = 3·(334 - 249) = 3·85 = 255
PS:   если  где  то   что  то отпустил, то  сами  сможете исправить упущенное!!!