Question

СРОЧНО, ПОЖАЛУЙСТА, ПОМОГИТЕ
Найдите точку максимума функции $y=(x^2-17x+17) e^{9-x}$

Answer 1

Поскольку просят найти точку максимума, то это не обязательно – верхняя грань области значений функции, а просто точка, где функция достигает локального максимума. Т.е. будем искать локальные максимумы.


$y = (x^2 - 17x+17)e^{9-x} ;$


Найдём производную:

$y'_x (x) = (x^2 - 17x+17)'_x cdot e^{9-x} + (x^2 - 17x+17) cdot ( e^{9-x} )'_x = \\ = (2x - 17)e^{9-x} + (x^2 - 17x+17)e^{9-x} cdot ( 9 - x )'_x = \\ = (2x - 17)e^{9-x} + ( x^2 - 17x + 17 )e^{9-x} cdot ( - 1 ) = \\ = ( 2x - 17 - [ x^2 - 17x + 17 ] ) e^{9-x} = - ( x^2 - 19x + 34 ) e^{9-x} ;$


Найдём нули производной

$y'_x (x) = 0 ;$

$- ( x^2 - 19x + 34 ) e^{9-x} = 0 ;$

$x^2 - 19x + 34 = 0 ;$

$D = 19^2 - 4 cdot 34 = 361 - 136 = 225 = 15^2 ;$

$x_{1,2} = frac{ 19 pm 15 }{2} in { 2 ; 17 } ;$


Причём, ясно, что:

при:    $x < 2 ; Rightarrow y'_x (x) < 0 ;$

при:    $2< x < 17 ; Rightarrow y'_x (x) > 0 ;$

и при:    $x > 17 ; Rightarrow y'_x (x) < 0 ;$


А значит максимум у функции будет при    $x = 17 ;$


$y (x=17) = ( 17^2 - 17 cdot 17 + 17 ) e^{ 9 - 17 } = 17 e^{-8} = frac{17}{e^8} ;$


Приближённо, если необходимо реалистичное построение,
можно заметить, что:

$e^8 approx 2 800 ;$

$y (x=17) approx frac{17}{2 800} approx 0.006 ;$



О т в е т : точка максимума функции:    $( x_{max} ; y_{max} ) = ( 17 ; frac{17}{e^8} ) .$