Question

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
$y' - y * tgx = frac{1}{cosx}$
При x = 0, y = 0

Answer 1

Домножим всё на    $cos{x}$

$y' cos{x} - y sin{x} = 1 ;$


Решим соответствующее однородное дифф.уравнение:

$y' cos{x} - y sin{x} = 0 ;$

$frac{dy}{dx} cos{x} = y sin{x} ;$

$frac{dy}{y} = tg{x} dx ;$

$int{ frac{dy}{y} } = int{ frac{ sin{x} cdot dx }{ cos{x} } } ;$

$ln{ | y | } = - int{ frac{ d cos{x} }{ cos{x} } } ;$

$ln{ | y | } = - ln{ | cos{x} | } + C_1 ;$

$ln{ | y | } = ln{ | frac{ C }{ cos{x} } | } ;$

$| y | = | frac{ C }{ cos{x} } | ;$

$y = frac{ C }{ cos{x} } ;$


Если заменить константу C функцией f(x), то решение примет вид:

$y = frac{ f(x) }{ cos{x} } ;$

$y' = frac{ f'(x) cos{x} + f(x) sin{x} }{ cos^2{x} } ;$


Подставим эти выражения в исходное:

$frac{ f'(x) cos{x} + f(x) sin{x} }{ cos^2{x} } cdot cos{x} - frac{ f(x) }{ cos{x} } cdot sin{x} = 1 ;$

$frac{ f'(x) cos{x} + f(x) sin{x} }{ cos{x} } - frac{ f(x) }{ cos{x} } cdot sin{x} = 1 ;$

$frac{ f'(x) cos{x} + f(x) sin{x} - f(x) sin{x} }{ cos{x} } = 1 ;$

$frac{ f'(x) cos{x} }{ cos{x} } = 1 ;$

$f'(x) = 1 ;$

$f(x) = x + C ;$


Окончательное общее решение:

$y = frac{ x + C }{ cos{x} } ;$



Наложим на решение начальные словия:   $( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) :$

$0 = frac{ 0 + C }{ cos{0} } ;$

$0 = 0 + C ;$

$C = 0 ;$


Частное решение:

$y = frac{x}{ cos{x} } ;$


О т в е т :    $y = frac{x}{ cos{x} } .$