Question

Даю 20 баллов!
Развяжите уравнение

$1) A ^{4} _{x} =56*A ^{2} _{x} 2) A^{5} _{x} =72*A ^{3} _{x-2}$

Answer 1

$A_n^k= frac{n!}{(n-k)!}$

Отсюда:

$1)$
$frac{x!}{(x-4)!}=56* frac{x!}{(x-2)!}$
$frac{x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)!}{(x-4)!}=56* frac{x*(x-1)*(x-2)!}{(x-2)!}$- свойство факториалов.
$x(x-1)(x-2)(x-3)=56x(x-1)$
Поделим на икс:
$(x-1)(x-2)(x-3)=56(x-1)$
Поделим на (х-1):
$(x-2)(x-3)=56$
Отсюда:
$x^2-3x-2x+6=56$
$x^2-5x-50=0$
$sqrt{D}= sqrt{25+200}=15$
$x_{1,2}= frac{5pm15}{2}=10,(-5)$
2 корень не подходит так как факториал не может быть отрицательным.
Поэтому :
$x=10$

Проверим:
$frac{10!}{6!}=56* frac{10!}{8!}$
$frac{10!8!}{6!10!}=56$
$8*7=56$

2)
$frac{x!}{(x-5)!}=72* frac{(x-2)!}{(x-5)!}$
$frac{x!(x-5)!}{(x-5)!(x-2)!}=72$
$frac{x*(x-1)*(x-2)!}{(x-2)!}=72$
$x(x-1)=72$
$x^2-x-72=0$
$sqrt{D}= sqrt{1+288}=17$
$x_{1,2}= frac{1pm17}{2}=9,(-8)$
Подходит только 1 корень.
Поэтому:
$x=9$

Answer 2

огромное спасибо!