Question

Прошу помощи с тригонометрическим уравнением.
$2sinx+3cos2x-3=0$
У меня получились уравнения:
1. $sinx=0$
2. $sinx= frac{1}{3}$
Откуда корни:
1. $x= pi k$
2. $left[begin{array}{ccc}x=arcsin frac{1}{3}+2 pi k\x= pi +arcsin frac{1}{3}+2 pi k end{array}$
Дан промежуток:
$left[begin{array}{ccc}- pi ; frac{3 pi }{2} \end{array}right]$
Встал вопрос: что делать с арксинусами для нахождения корней на промежутке?

Answer 1

Есть 2 варианта ответа.
1) Оставить ответ такой, какой получился. Ведь переменная х - это угол. А arc sin(1/3)  и есть угол.
Чтобы определить значение х в заданном промежутке, надо их приравнять.
1 ответ: х = πk:
πk = -π        k = -1        x = -π.
πk = 3π/2     k = 3/2      Целое значение k = 1.
Есть ещё 2 значения к между ними:
к =0    х = 0,
к = 1   х = π.
2 ответ:
x = arc sin(1/3) + 2πk:
Так как угол  arc sin(1/3) больше 0 и меньше π/2, то заданный промежуток можно выразить так:
левый предел:-π - 2πk < π/2, сократим на π:
-1 - 2k < 1/2,
2k > -1 - (1/2) ,
k > -3/4. То есть ближайшее целое значение к = 0,
правый предел: 3π/2 - 2πk < π/2,
3/2 - 2k < 1/2,
2k > (3/2) - (1/2) = 2/2 = 1,
k > 1/2.
Если принять значение k = 1, то тогда корень равен x = arc sin(1/3) + 2π, что больше 3π/2.
Значит, k = 0.
Корень равен: x = arc sin(1/3).

3 ответ:
x = π - arc sin(1/3) + 2πk (именно минус после π).
-π = arc sin(1/3) + 2πk,
-π - 2πk < π/2,
-1 - 2k < 1/2,
2k > -1 -(1/2),
2k >-3/2,
k > -3/4.
То есть ближайшее целое значение к = 0.
Корень равен: x = π - arc sin(1/3).

Итого 5 значений:
1) х = -π;
2) х = 0;
3) х = arc sin(1/3);
4) x = π - arc sin(1/3);
5) x = π.

2) Можно выразить в цифровом виде, найдя arc sin(1/3) в радианах: arc sin(1/3) =  0.339837 радиан.
В заданном промежутке 5 значений х:
1) х = - 3,141593;
2) х = 0;
3) х = 0,339837;
4) х = 2,801756;
5) х = 3,141593.