Question

помогите пожалуйста! очень нужно! найдите значение параметра а при которых наиболшее значение функции f(x)=|2x^2+|a|x+ax+2a-49| на отрезке [-5:5] принимает наименьшее значение

Answer 1

т.к. f(x) всегда положительна, то наименьшее значение может быть 0 и больше.

Посмотрим, существуют ли а, при которых f(x) принимает значение равное 0 на отрезке [-5;5]. Т.е. задача равносильна задаче

При каких а, у квадратного уравнения $2x^2+x(|a|+a)+2a-49=0$ есть корни принадлежащие отрезку [-5;5]

Очевидно, что если 2a-49>0, то решений нет. О.В.Р:$aleq 24,5$

Рассмотрим а=<0. При таких а выражение |a|+a обращается в 0 следовательно вершина лежит на оси х=0

Тогда при а=<0 нам необходимо и достаточно условия f(5)>=0

Почему?

Нарисуем параболлу. Мы видим, что если в точке b(по оси абцисс) параболла принимает положительное значение, то пересечение с осью абцисс лежит левее b

Рассмотрим а>0

Вершина параболлы будет лежать в 3 четверти координатной плоскости(где x и y отрицательны). Вершина по оси ординат лежит ниже 0 следует из того, что а=<24,5, а то, что вершина лежит левее нуля по оси абцисс следует из того, что |a|+a>0

Поэтому и здесь нам достаточно условия, что f(5)>=0

Теперь наша задача свелась к решению неравенства

f(5)>=0, a=<24,5

$50+5(|a|+a)+2a-49geq 0\ 5|a|+7ageq -1$

$ageq 0 \ ageq - frac{1}{12}\ \ a<0 \ ageq -frac{1}{2}$

В итоге ответ:

$-frac{1}{2} leq a leq 24,5$