Question

Решить определенный интеграл

Answer 1

$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {\frac{x\cdot sinx}{cos^3x}} \, dx =[\, u=x,\; du=dx,\; dv=\frac{sinx\, dx}{cos^3x}\; ,\\\\v=\int \frac{sinx\, dx}{cos^3x}=[t=cosx,\; dt=-sinx\, dx\, ]=\\\\=-\int t^{-3}dt=-\frac{t^{-2}}{-2}=\frac{1}{2cos^2x}\, ]=uv-\int v\, du=\\\\=\frac{x}{2cos^2x}|_0^{\frac{\pi}{4}}-\int _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{2cos^2x}= \frac{\frac{\pi}{4}}{2cos^2\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{2}\cdot tgx|_0^{\frac{\pi}{4}}=$

 $=\frac{\pi }{8\cdot \frac{1}{2}} -\frac{1}{2}tg\frac{\pi}{4}=$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$