Question

Найдите сумму целых решений неравенства
$\frac{|4x-10|-|2x-14|}{(x+3)(x-6)} \leq 0$

Answer 1

Найдем значения Х, которые обнуляют подмодульные выражения:
4x-10=0; x=2,5
2x-14=0; x=7
Нанесем эти точки на числовую ось:

__________2,5__________7__________

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.Рассмотрим все три случая:
1)x<2,5
На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому модули раскроем со сменой знака:
[-4x+10+2x-14]/ (x+3)(x-6) <=0
(-2x-4)/(x+3)(x-6) <=0
-2(x+2) / (x+3)(x-6) <=0
(x+2)/(x+3)(x-6) >=0

____-__(-3)__+_____[-2]___-_____(6)____+______
               //////////////////////                      /////////////////////////

С учетом промежутка  получаем: x e (-3; 2]

2)2,5<=x<7
Первый модуль раскроем без смены знака, а второй - со сменой знака:
[4x-10+2x-14]/(x+3)(x-6) <=0
(6x-24)/(x+3)(x-6)<=0
6(x-4)/(x+3)(x-6)<=0
(x-4)/(x+3)(x-6)<=0

____-____(-3)___+____[4]____-___(6)_____+____
////////////////////                    /////////////////////
С учетом промежутка: x e [4;6)

3)x>=7
[4x-10-2x+14]/(x+3)(x-6)<=0
(2x+4)/(x+3)(x-6)<=0
2(x+2)/(x+3)(x-6)<=0
(x+2)/(x+3)(x-6)<=0

___-____(-3)____+__[-2]___-____(6)____+____
//////////////////                    ////////////////////
Решений нет, т.к. x>=7
Решением неравенства являются промежутки: x e (-3;2] U [4;6)
Сумма целых решений: -2-1+1+2+4+5=9