Question

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой.
1-2 примера на ваш выбор.нужен хороший ответ.

Answer 1

№ 2

$y=-x^2-1 \ ;$

$y'_x = - 2 \cdot x^{2-1} = - 2x \ ;$

$y'_x = - 2x \ ;$

$y''_x = ( y'_x )'_x = (- 2x)'_x = -2 \ ;$

$y''_x = -2 < 0$    всегда, а значит,

функция всегда выпукла и не имеет точек перегиба.


О т в е т : выпуклость   $x \in R \equiv ( -\infty ; +\infty ) \ ,$    перегибов нет.




№ 3

$y = 6x^2 - x^3 \ ;$

$y'_x = 2 \cdot 6x^{2-1} - 3 \cdot x^{3-1} = 12x - 3x^2 \ ;$

$y'_x = 12x - 3x^2 \ ;$

$y''_x = ( y'_x )'_x = ( 12x - 3x^2 )'_x = 12 - 2 \cdot 3x^{2-1} = 12 - 6x \ ;$

$y''_x = 12 - 6x \ ;$

$y''_x \leq 0 \ ; \ \Rightarrow \ 12 - 6x \leq 0 \ ; \ \Rightarrow \ x \geq 2 \ ;$

значит функция выпукла при x>2, а в точке x=2 имеет перегиб.


О т в е т : выпуклость   $x \in ( 2 ; +\infty ) \ ,$    перегиб при    $x = 2 \ .$




№ 4

$f(x) = x^3 - x \ ;$

$f'_x (x) = 3 \cdot x^{3-1} - 1 = 3x^2 - 1 \ ;$

$f'_x (x) = 3x^2 - 1 \ ;$

$f''_x (x) = ( f'_x (x) )'_x = ( 3x^2 - 1 )'_x = 2 \cdot 3x^{2-1} = 6x \ ;$

$f''_x (x) = 6x \ ;$

$y''_x \leq 0 \ ; \ \Rightarrow \ 6x \leq 0 \ ; \ \Rightarrow \ x \leq 0 \ ;$

значит функция выпукла при x<0, а в точке x=0 имеет перегиб.


О т в е т : выпуклость   $x \in ( -\infty ; 0 ) \ ,$    перегиб при    $x = 0 \ .$




№ 5

$f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 3x^2 +8x - 4 \ ;$

$f'_x (x) = 3 \cdot \frac{1}{3} x^{3-1} - 2 \cdot 3x^{2-1} + 8 = x^2 - 6x + 8 \ ;$

$f'_x (x) = x^2 - 6x + 8 \ ;$

$f''_x (x) = ( f''_x (x) )'_x = ( x^2 - 6x + 8 )'_x = 2 \cdot x^{2-1} - 6 = 2x - 6 \ ;$

$f''_x (x) = 2x - 6 \ ;$

$y''_x \leq 0 \ ; \ \Rightarrow \ 2x - 6 \leq 0 \ ; \ \Rightarrow \ x \leq 3 \ ;$

значит функция выпукла при x<3, а в точке x=3 имеет перегиб.


О т в е т : выпуклость   $x \in ( -\infty ; 3 ) \ ,$    перегиб при    $x = 3 \ .$