Question

1) исследовать функцию экстремум
2) найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
пожалуйста с решением

Answer 1

1.1. $y=(x-3)e^x \\ y'=e^x+(x-3)e^x=(x-2)e^x$
$y'=0 \ \textless \ =\ \textgreater \ (x-2)e^x=0 \ \textless \ =\ \textgreater \ x-2=0 \ \textless \ =\ \textgreater \ x=2$
На промежутке (-∞,2) y' принимает отрицательные значения, значит функция у убывает.
На промежутке (2, +∞) y' принимает положительные значения, значит функция у возрастает.
Значит х=2 - это минимум функции у.

1.2. $y=x^{4}+ \frac{1}{2}x^2-3 \\ y'=4x^3+x=x(4x^2+1)=0$
4x^2+1 всегда больше нуля при любых значениях х. Значит производная обращается в ноль только при х=0.
на промежутке х<0 y'<0, то есть у убывает.
на промежутке х>0 y'>0, то есть у возрастает.
Значит х+0 минимум функции у.

2.1. $y=x^2-6x+8 \\ y'=2x-6=0 \ \textless \ =\ \textgreater \ 2x=6 \ \textless \ =\ \textgreater \ x=3$
На полуинтервале [1,3) y' принимает отрицательные значения, функция у убывает. у(1)=3 - локальный максимум. у(3)=-1 - локальный минимум.
На полуинтевале (3,4] у' положительна, значит у возрастает. у(4)=16-24+8=0 - локальный максимум
из двух локальных максимумов выбираем наибольший - это 3 - наибольшее значение функции у на отрезке [1,4]. -1 - наименьшее.

2.2.$y=3x^4+4x^3+1 \\ y'=12x^3+12x^2=12x^2(x+1) \\ y'=0 \ \textless \ =\ \textgreater \ x=0, x=-1$
Рассмотрим промежуток [-2,-1]. На нем y' отрицательна. Значит у убывает. у(-2)=3*16-4*8+1=17 - локальный максимум. у(-1)=0 - локальный минимум.
В интервале (-1,0) производная положительна. Значит у возрастает.
у(0)=1 -критическая непонятна точка (может быть локальным максимумом, но посмотрим дальше).
На промежутке (0,1] y' опять положительна. То есть у продолжает возрастать. Значит х=0 - это точка перегиба. у(1)=8 локальный максимум.
Наибольшее значение функции на отрезке [-2,1] - это 17, а наименьшее - это 0.