Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F - середины отрезков BD и C1C. Докажите, используя векторы, что прямые BC1 EF DC параллельны одной плоскости

Answer 1

Введем систему координат.
Пусть точка А совпадает с точкой (0;0;0)
Ось ох сопадает с прямой АД, ось оу с прямой АВ и ось оz c прямой
АА1
Тогда координаты точек:
Д(1;0;0)
С(1;1;0)
В(0;1;0)
С1(1;1;1)
Е(0,5; 0,5; 0)
F(1;1; 0,5)

Координаты векторов
ЕF(0,5; 0,5; 0,5)
BC1 (1;0;1)
DC(0;1;0)

Если векторы компланарны, то определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0

Это так

$\left|\begin{array}{ccc}0,5&0,5&0,5\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right|=0+0+0,5-0-0,5-0=0$

векторы компланарны, т.е параллельны одной и той же плоскости