Question

найдите множество значений функции f(x)=9(в степени x) +5* 3 ( в степени -2x)

Answer 1

 

$f(x) = 9^x + 5*3^{-2x} = 3^{2x} + 5*3^{-2x}\\ f'(x) = 2*3^{2x}ln3 -10*3^{-2x}ln3$

 

 

$f'(x) = 0; 2*3^{2x}ln3 -10*3^{-2x}ln3 = 0\\3^{2x} -5*3^{-2x} = 0\\ 3^{2x} = 5*3^{-2x}\\ 1/5 = 3^{-4x}, 3^{4x} = 5, 81^x = 5, x = log_{81}5$

 

 

$f(x) < 0, x < log_{81}5,\\ f(x) > 0, x > log_{81}5$

 

 

Функция f(x) имеет в точке x = log_{81}5, минимум.

 

$f(log_{81}5) = 3^{2log_{81}5} + 5*3^{-2log_{81}5} = 3^{2log_{3^4}5} + 5*3^{-2log_{3^4}5} =\\ 3^{log_{3}sqrt{5}} + 5*3^{log_{3}(1/sqrt{5})} = sqrt{5} + 5/sqrt{5} = 2sqrt{5}$

 

 

При x -> +∞, f(x) - > +∞, при x -> -∞, f(x) - > +∞

 

Mножество значений функции f(x): $[2sqrt{5}, +infty)$