Question

помагите хоть что нибуть плис 1)Найдите производную функции: а)y=7x^5+3x^4-57x +4 б)y=-3√x +13 cosx -12ctgx в)y=√x(-2x+1) г)y=xx^2-1 2)Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=-7cos3x+2sin5x-3 в точке с абсциссой x0=п3 3)Вычмслите f'(п6), если f(x)=2cosx+x^2-пч3 +5 4)прямолинейное движение точки описывается законом s=t^4-t^2(м). Найдите её скорость в момент временни t=3 с. 5)Найдите все значения ч, при которых выполняется неравенство f'<0, если f(x)=81x-3x^2 6)составьте уравнение касательных к графику функции y=x^4+x^2-2 в точках его пересечения его с осью абсцисс. Найдите точку пересечения этих касательных. 7)Найдите все значения х, при которых выполняется неравенство f'=0, если f(x)=cos2x+x√3 и x э [0;4п] 8)Докажите, что функция y=(2x+5)^10 удовлетворяет соотношению 8000x^10(2x+5)^15-(y')^3=0 пожалуйста помогите, срочно!!!!

Answer 1

$1)~ y'=(7x^5+3x^4- frac{5}{7} x+4)'=35x^4+12x^3-frac{5}{7} \ \ 2)~ y'=(-3 sqrt{x} + frac{1}{3} cos x-0.5ctg x)'=- frac{3}{2 sqrt{x} } -frac{1}{3} sin x+frac{1}{2sin^2x}$

$3)~ y'=( sqrt{x} (-2x+1))'= frac{-2x+1}{2 sqrt{x} } -2 sqrt{x} = frac{-6x+1}{2 sqrt{x} }$

2) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функций:
а)  $y=-7cos 3x+2sin 5x-3$ в точке с абсциссой x0=п3 

Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке

$y'=(-7cos 3x+2sin 5x-3)'=21sin 3x+10cos 5x\ \ k=y'( frac{pi}{3} )=21sin frac{3pi}{3} +10cos frac{5pi}{3} =21cdot 0+10cdot(-0.5)=-5$

3. Вычислите f'(п6), если f(x)=2cosx+x^2-пx3 +5 

$f'(x)=(2cos x+x^2- frac{ pi x}{3} +5)'=-2sin x+2x-frac{ pi }{3} \ \ f'(frac{ pi }{6})=2sin frac{ pi }{6}+2cdotfrac{ pi }{6}-frac{ pi }{3} =2cdot0.5+frac{ pi }{3} -frac{ pi }{3} =1$

4. Производная от пути является скорость, т.е. s'(t) = v(t)

$v(t)=(t^4-t^2)'=4t^3-2t\ \ v(3)=4cdot 3^3-2cdot 3=102~ m/s$


5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство f'<0, если f(x)=81x-3x^2
Производная функции: $f'(x)=(81x-3x^2)'=81-6x$
$f'(x) textless 0\ 81-6x textless 0\ \ -6x textless -81\ \ x textgreater 13.5$

6. составьте уравнение касательных к графику функции y=x^4+x^2-2 в точках его пересечения его с осью абсцисс. Найдите точку пересечения этих касательных

Найдем точки пересечения исходной функции с осью Ох:
$x^4+x^2-2=0$

Решая это уравнение как квадратное уравнение относительно x^2, получим корни

x² = -2 - не удовлетворяет

x² = 1  откуда   x0 = ±1

$y'=(x^4+x^2-2)'=4x^3+2x$

$y'(1)=4cdot 1^3+2cdot 1=4+2=6\ y'(-1)=4cdot(-1)^3+2cdot(-1)=-4-2=-6$

Найдем теперь эти уравнения касательных
$f_1(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)=6(x-1)+0=6x-6\ f_2(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)=-6(x+1)=-6x-6$

Приравнивая касательные, найдем точки пересечения касательных

$6x-6=-6x-6\ 12x=0\ x=0$

(1;-6) - пересечение касательных. (см. рисунок).

7. Найдите все значения х, при которых выполняется неравенство f'=0, если f(x)=cos2x+x√3 и x э [0;4п] 

$f'(x)=(cos 2x+x sqrt{3} )'=-2sin2x+sqrt{3} =0\ \ sin2x=sqrt{3} /2\ \ 2x=(-1)^kcdot frac{pi}{3}+ pi k,k in mathbb{Z} \ \ x=(-1)^kcdot frac{pi}{6}+ frac{pi k}{2} ,k in mathbb{Z}$

Отбор корней из x ∈ [0;4π]

$k=0;~~ x= frac{ pi }{6} \ \ k=1;~~ x=-frac{ pi }{6} +frac{ pi }{2} =frac{ -pi+3 pi }{6} =frac{ pi }{3} \ \ k=2; ~~x=frac{ pi }{6} + pi =frac{ 7pi }{6} \ \ k=3; ~~ x=-frac{ pi }{6} +frac{ 3pi }{2} =frac{ 4pi }{3} \ \ k=4;~~ x=frac{ pi }{6} +2 pi =frac{ 13pi }{6}$

8.  Докажите, что функция y=(2x+5)^10 удовлетворяет соотношению 8000x^10(2x+5)^15-(y')^3=0


$y'=((2x+5)^{10})'=20(2x+5)^9$

$8000x^{10}(2x+5)^{15}-(y')^3=0\ \ y'= sqrt[3]{8000x^{10}(2x+5)^{15}} =20(2x+5)^5x^{10/3}$

Не удовлетворяет.