Question

Найдите наибольшее отрицательное решение уравнения+решение
$tg2x+ frac{1}{3} ctg2x= frac{5}{3sin2x}$

Answer 1

$tg{2x} + frac{1}{3}ctg{2x} = frac{5}{ 3 sin{2x} } ; || cdot 3 ;$

$frac{ 3sin{2x} }{ cos{2x} } + frac{ cos{2x} }{ sin{2x} } = frac{5}{ sin{2x} } ; || cdot sin{2x} cdot cos{2x} ;$

$3sin^2{2x} + cos^2{2x} = 5 cos{2x} ;$

$3 cdot ( 1 - cos^2{2x} ) + cos^2{2x} = 5 cos{2x} ;$

$3 - 3 cos^2{2x} + cos^2{2x} = 5 cos{2x} ;$

$3 - 2 cos^2{2x} - 5 cos{2x} = 0 ;$

$2 cos^2{2x} + 5 cos{2x} - 3 = 0 ;$

$D = 5^2 - 4 cdot 2 cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 ;$

$cos{2x} = frac{ -5 pm 7 }{ 2 cdot 2 } in { -3 , frac{1}{2} } ;$

$cos{2x} = frac{1}{2} ;$

$2x = pm frac{ pi }{3} + 2 pi n , n in Z ;$

$x = pm frac{ pi }{6} + pi n , n in Z ;$


Наибольшее отрицательное решение, т.е. наиболее близкое к нулю отрицательное решение будет    $x = - frac{ pi }{6} ;$


О т в е т :    $x = - frac{ pi }{6} .$