Question

Решить систему уравнений:

5sinx=siny

3cosx+cosy=2

Answer 1

5*sin(x)=sin(y)

3*cos(x)+cos(y)=2

Возведем обе части первого уравнения в квадрат

25*sin^2(x)=sin^2(y)

Воспользуемся формулой

cos^2(A)+sin^2(A)=1

и изменим правую часть равенства

25*sin^2(x)=1-cos^2(y)

cos^2(y)=1-25*sin^2(x) (*)

Второе уравнение системы запишем следующим образом

cos(y)=2-3*cos(x)

И тоже обе части возведем в квадрат

cos^2(y)=4-12*cos(x)+9*cos^2(x) ( ** )

В уравнениях (*) и (**) левые части одинаковые, поэтому приравниваем правые части

1-25*sin^2(x)= 4-12*cos(x)+9*cos^2(x)

Откуда

1-25*(1-cos^2(x))= 4-12*cos(x)+9*cos^2(x)

4*cos^2(x)+12*cos(x)-28=0

Положим

cos(x)=t,

будем иметь

16*t^2+12*t-28=0

4*t^2+3*t-7=0

D=b^2-4ac=9+112=121

t1,2=(-b±sqrt(D))/2*a

t1=(-3-sqrt(121))/8=(-3-11)/8=-14/8 <-1 -не удовлетворяет ОДЗ

t2=(-3+sqrt(121))/8=(-3+11)/8=1

При t=1 cos(x)=1

x=2*pi*k

Подставим значение cos(x)=1 во второе уравнение системы и найдем значение

y 3*cos(x)+cos(y)=2 =>3*1+cos(y)=2 =>cos(y)=-1

y=pi+2*pi*n

Ответ:

x=2*pi*k

y=pi+2*pi*n