Question

В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Площадь боковой поверхности призмы равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Answer 1

Поскольку призма вписана в цилиндр то высоты обоих H одинаковы. Т. к. призма правильная, то площадь ее поверхности равна:
$S_{p} = 3aH$
Далее площадь поверхности цилиндра равна:
$S_{c} = 2 pi RH$
Поскольку у обоих одинаковые высоты, то мы можем приравнять их сначала выразив высоты обоих.:
$H_{1} = frac{S_{c}}{2 pi R} \ H_{2} = frac{S_{p}}{3a}$
Теперь приравняем их:
$frac{S_{c}}{2 pi R} = frac{S_{p}}{3a}$
Далее для описанной окружности около треугольника (основая призмы) с радиусом R, длина стороны равна:
$a = frac{3R}{sqrt{3}}$
Теперь мы можем подставить это вместо "a" в нашем равенстве:

 $frac{S_{c}}{2 pi R} = frac{S_{p}}{3*frac{3R}{sqrt{3}}} \ frac{S_{c}}{2 pi R} = frac{S_{p}*sqrt{3}}{9R} \ frac{S_{c}}{2 pi R} = frac{5sqrt{3}}{9R} \ frac{S_{c}}{2 pi} = frac{5sqrt{3}}{9} \ S_{c} = frac{10 pisqrt{3}}{9}$

Решал быстро, возможны ошибки :)