Question

докажите что медиана треугольника меньше полусуммы сторон выходящих с ней из одной вершины

Answer 1

Пусть в ΔABC медиана A$A_{1}$. Надо доказать, что
$A A_{1}$<$frac{AB+AC}{2}$
Продолжим медиану $A A_{1}$ за $A_{1}$ и на продолжении отметим точку D так, чтобы $A A_{1}= A_{1}D$, тогда ABDC - параллелограмм. То есть $BD=AC$, к тому же $AD=2A A_{1}$. В треугольнике ABD сторона меньше суммы двух других сторон, то есть $AD textless AB+BD$ или 
$2A A_{1} textless AB+AC$. Отсюда
$A A_{1} textless frac{AB+AC}{2}$