Question

при каком отрицательном значении а уравнение    x^3-3x^2-a=0      имеет ровно два корня?

 

Answer 1

$x^3-3x^2-a=0$

 

Кубичеcкое уравнение имеет хотя бы два совпадающих корня, когда $D = 0$

 

$D = -4b^3d + b^2c^2 -4Ac^3 + 18Abcd - 27A^2d^2$

 

$A = 1$ (большая, что бы отличать от парметра $a$), $b = -3, c = 0, d =-a$

 

 

$D = -4*27*a - 27a^2 = 0\ 4a + a^2 = 0\ a(4 +a) = 0$

 

 

$a_1 = 0, a_2 = -4$

 

$a = -4$ (по условию $a<0$)

 

 

 Проведём проверку: $x^3-3x^2+4=0$

 

 В глаза бросается очевидный корень уравнения $</var>x = -1$</p> <p> </p> <p><img src=[/tex] (x+1)B = x^3-3x^2+4" title=" x = -1" title=" (x+1)B = x^3-3x^2+4" title=" x = -1" alt=" (x+1)B = x^3-3x^2+4" title=" x = -1" />

 

$</var>x = -1$

 

$<var> </var>(x 1)B = <var>x^3-3x^2 4$, если $B$ - вида $</var>(x c)^2$, если $B$ - вида $<var> </var>(x+1)B = <var>x^3-3x^2+4$, если $B$ - вида $</var>(x c)^2$ - разаличных корня ровно два.

 

$<var>(x+1)(x^2-4x+4) = x^3-3x^2+4$ - разаличных корня ровно два.

 

$</var>(x + c)^2$ - разаличных корня ровно два.

 

$<var>(x+1)(x^2-4x+4) = x^3-3x^2+4" /><var></var></var></p> <p> </p> <p>[tex](x+1)(x-2)^2 = x^3-3x^2+4 =>$ разаличных корня ровно два.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

запишем для нашего уравнения теорему Виета

x1+x2+x3=3

x1*x2+x2*x3+x1*x3=0

x1*x2*x3=-a

 

учтем, что по условию один корень уравнеия кратный.

x1+2x2=3

x1*x2^2=-a

x2^2+2x1*x2=0  x2*(x2+2x1)=0

 

x2=-2x1  подставляем в первое уравнение x1-4x1=-3  -3x1=3  x1=-1  x2=x3=2

X1*X2*X3=-4

т.е. уравнение имеет вид x^3-3x^2+4=0

a=-4