Question

Доказать, что $sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}=3$

Answer 1

фото.......................................................

Answer 2

Обозначим

$A=sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}$ - (это число действительное, как сумма действительных чисел, корень кубический из любого действительного числа - число действительное, корень квадратный с положительного число - действительное число)

Возведем в куб (пользуясь формулой куба двучлена в виде $(x+y)^3=x^3+3(x+y)xy+y^3$)

, получим

$A^3=(sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}})^3=\\ (sqrt[3]{9+sqrt{80}})^3+3*(sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}})*sqrt[3]{9+sqrt{80}}*sqrt[3]{9-sqrt{80}}+(sqrt[3]{9-sqrt{80}})^3=\\ 9+sqrt{80}+3*A*sqrt[3]{(9+sqrt{80})(9-sqrt{80})}+9-sqrt{80}=\\ 18+3*A*sqrt[3]{(9^2-(sqrt{80})^2}=\\ 18+3*A*sqrt[3]{81-80}=\\ 18+3A*1=18+3A$

 

откуда получили что для данного А, справедливо уравнение(решим его)

$A^3=18+3A;\\A^3-3A-18=0;\\A^3-3A^2+3A^2-9A+6A-18=0;\\A^2(A-3)+3A(A-3)+6(A-3)=0;\\(A-3)(A^2+3A+6)=0$

 

откуда либо А-3=0, А=3 - действительное число

либо $A^2+3A+6=0; D=3^2-4*6=9-24=-15<0$ - уравнение действительных корней не имеет,

значит А=3, т.е.

$sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}=3$, что и требовалось доказать