Question

Сложно!Найдите производную от у=(x+2y)/(2x-y)

Answer 1

$y = frac{ x + 2y }{ 2x - y } ;$


Преобразуем уравнение:

$( 2x - y ) y = x + 2y ;$

$2xy - y^2 = x + 2y ;$


Заметим, что данное уравнение имеет квадратичную форму относительно $y .$     Выражая из него     $y(x) ,$     мы получили бы стандартное выражение в виде корней параметрического квадратного уравнения, которых за исключением одной точки всегда 2, в том случае, если они конечно вообще есть. Таким образом, если бы мы использовали функцию     $y(x)$     относительно     $x ,$     для отображения того же множества точек, что и исходное уравнение, то такая функция, во-первых, не была бы однозначной, а во-вторых была бы определана не для всех     $x .$     Вывод: для дифференцирования такого уравнения наиболее удобно использовать именно однозначную обратную функцию     $x(y)$     относительно     $y .$


Для этого выразим     $x(y)$     относительно     $y .$

$2xy - x = y^2 + 2y ;$

$x ( 2y - 1 ) = y^2 + 2y ;$

$x(y) = frac{ y^2 + 2y }{ 2y - 1 } ;$


Продифференцируем её по     $y ,$     используя общее правило,

что если     $z(t) = frac{ p(t) }{ q(t) } ,$     то:     $z'_t(t) = frac{ p'_t q(t) - q'_t p(t) }{ q^2 (t) } ;$


$x'_y(y) = frac{ ( 2y + 2 )( 2y - 1 ) - 2 ( y^2 + 2y ) }{ ( 2y - 1 )^2 } = frac{ 4y^2 + 4y - 2y - 2 - 2 y^2 - 4y }{ ( 2y - 1 )^2 } = frac{ 2y^2 - 2y - 2 }{ ( 2y - 1 )^2 } ;$

$y'_x(y) = frac{dy}{dx} = 1 / frac{dx}{dy} = frac{1}{ x'_y(y) } = 1 / frac{ 2y^2 - 2y - 2 }{ ( 2y - 1 )^2 } = frac{ ( 2y - 1 )^2 }{ 2 ( y^2 - y - 1 ) } ;$



О т в е т :

$y'_x(y) = frac{dy}{dx} = frac{ ( 2y - 1 )^2 }{ 2 ( y^2 - y - 1 ) } ;$

$x'_y(y) = frac{dx}{dy} = frac{ 2 ( y^2 - y - 1 ) }{ ( 2y - 1 )^2 } .$