Question

СРОЧНО! ПРОШУ! Отмечу, как лучший ответ!!!!! $sin(x- pi /2)+sin(x+3 pi /2)= sqrt{2}$

Answer 1

$sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } + sin{ ( x + frac{3}{2} pi ) } = sqrt{2} ;$


Учтём, что тригонометрические функции периодичны, в том числе, всегда верно, что:

$sin{a} = sin{ ( a + 2 pi ) } = sin{ ( a - 2 pi ) } = sin{ ( a + 4 pi ) } = sin{ ( a - 4 pi ) }$    и т.д., поскольку период синуса равен $2 pi .$


Поэтому:

$sin{ ( x + frac{3}{2} pi ) } = sin{ ( x + frac{3}{2} pi - 2 pi) } = sin{ ( x + ( frac{3}{2} - 2 ) pi) } = \\ = sin{ ( x + ( -frac{1}{2} ) pi) } = sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } ;$


Подставим это выражение в исходное уравнение:

$sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } + sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } = sqrt{2} ;$

$2 sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } = sqrt{2} ;$

$sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } = frac{ sqrt{2} }{2} ;$



далее, два способа:



[[[ 1-ый способ ]]]


$x - frac{ pi }{2} = frac{ pi }{2} pm frac{ pi }{4} + 2 pi n , n in Z ;$

$x = frac{ pi }{2} + frac{ pi }{2} pm frac{ pi }{4} + 2 pi n , n in Z ;$

$x = pi pm frac{ pi }{4} + 2 pi n , n in Z ;$

$x = pm frac{3}{4} pi + 2 pi n , n in Z ;$



[[[ 2-ой способ ]]]


$sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } = - sin{ ( frac{ pi }{2} - x ) } = - cos{x} ;$

$cos{x} = -frac{ sqrt{2} }{2} ;$

$x = pm frac{3}{4} pi + 2 pi n , n in Z ;$





О т в е т : $x = pm frac{3}{4} pi + 2 pi n , n in Z .$






[[[ 3-ий способ ]]]


$sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } + sin{ ( x + frac{3}{2} pi ) } = sqrt{2} ;$

Воспользуемся формулой: $sin{a} + sin{b} = 2 sin{ frac{a+b}{2} } cos{ frac{a-b}{2} } ;$

$sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } + sin{ ( x + frac{3}{2} pi ) } = 2 sin{ frac{ [ x - pi/2 ] + [ x + 3pi/2 ] }{2} } cos{ frac{ [ x - pi/2 ] - [ x + 3pi/2 ] }{2} } = \\ = 2 sin{ frac{ 2x + pi }{2} } cos{ frac{ -2pi }{2} } = 2 sin{ ( x + frac{ pi }{2} ) } cos{ pi } = -2 sin{ ( x - frac{ pi }{2} ) } cdot (-1) = \\ = - 2 sin{ ( frac{ pi }{2} - x ) } = - 2 cos{x} ;$

Тогда исходное уравнение можно переписать, как:

$- 2 cos{x} = sqrt{2} ;$

$cos{x} = -frac{ sqrt{2} }{2} ;$

$x = pm frac{3}{4} pi + 2 pi n , n in Z ;$




О т в е т : $x = pm frac{3}{4} pi + 2 pi n , n in Z .$



.

Answer 2

Не совсем понятна первая строчка.. Можно поподробнее?

Answer 3

Секундочку.

Answer 4

Теперь понятно?

Answer 5

ДАА! Спасибо:)

Answer 6

Очень вам благодарен.