Question

Sinx+cosx=Под корнем 2cos(П/4-x

Answer 1

$sin{x} + cos{x} = sqrt{ 2 cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } } ;$


Воспользуемся формулой $cos{a} + cos{b} = 2 cos{ frac{a+b}{2} } cos{ frac{a-b}{2} } ;$

$sin{x} + cos{x} = cos{ ( frac{ pi }{2} - x ) } + cos{x} = 2 cos{ frac{ [ pi/2 - x ] + x }{2} } cos{ frac{ [ pi/2 - x ] - x }{2} } = 2 cos{ frac{ pi }{4} } cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } ;$


Тогда исходное уравнение можно переписать так:

$2 cos{ frac{ pi }{4} } cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } = sqrt{ 2 cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } } ;$

$2 frac{ sqrt{2} }{2} cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } = sqrt{ 2 cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } } ;$

$sqrt{2} cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } = sqrt{ 2 cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } } ;$


ОДЗ: $cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } geq 0 ;$


$( sqrt{2} cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } )^2 = ( sqrt{ 2 cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } } )^2 ;$

$2 cos^2{ ( frac{ pi }{4} - x ) } = 2 cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } ;$

$cos^2{ ( frac{ pi }{4} - x ) } = cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } ;$

$cos^2{ ( frac{ pi }{4} - x ) } - cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } = 0 ;$

$cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } ( cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } - 1 ) = 0 ;$

$left[begin{array}{l} cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } = 0 , \ \ cos{ ( frac{ pi }{4} - x ) } = 1 ; end{array}right$


Оба решения удовлетворяют ОДЗ.


$left[begin{array}{l} x - frac{ pi }{4} = frac{ pi }{2} + pi k , k in Z ; \ \ x - frac{ pi }{4} = 2 pi n , n in Z . end{array}right$

$left[begin{array}{l} x = frac{ pi }{2} + frac{ pi }{4} + pi k , k in Z ; \ \ x = frac{ pi }{4} + 2 pi n , n in Z . end{array}right$



О т в е т :

$left[begin{array}{l} x = frac{3}{4} pi + pi k , k in Z ; \ \ x = frac{ pi }{4} + 2 pi n , n in Z . end{array}right$


.