Question

Решите уравнение: sin3x-sinx+cos3x-cosx=0
С подробным решением, пожалуйста!

Answer 1

Есть такая формула: sin x + cos x = √2*sin(x + pi/4)
Доказывается она легко.
sin x + cos x = √2*(1/√2*sin x + 1/√2*cos x) =
= √2*(sin x*cos(pi/4) + cos x*sin(pi/4)) = √2*sin(x + pi/4)
Решаем
sin 3x + cos 3x - (sin x + cos x) = 0
√2*sin(3x + pi/4) - √2*sin(x + pi/4) = 0
Делим на √2
sin(3x + pi/4) - sin(x + pi/4) = 0
По формулам приведения: cos(pi/2 + a) = -sin a
sin(3x + pi/4) = -cos(pi/2 + 3x + pi/4) = -cos(3x + 3pi/4)
-cos(3x + 3pi/4) - sin(x + pi/4) = 0
Меняем знак и делаем замену x + pi/4 = y
cos 3y + sin y = 0
По формулам приведения: sin(pi/2 - a) = cos a
sin(pi/2 - 3y) + sin y = 0
Есть еще формула:
$sin a + sin b = 2sin frac{a+b}{2} *sin frac{a-b}{2}$
$2sin frac{pi/2-3y+y}{2}*sin frac{pi/2-3y-y}{2} =2sin( frac{pi}{4}-y )*sin( frac{pi}{4} -2y)=0$
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0
1) sin(pi/4 - y) = sin(pi/4 - x - pi/4) = sin(-x) = -sin x = 0
x1 = pi*k
2) sin(pi/4 - 2y) = sin(pi/4 - 2x - pi/2) = -sin(2x + pi/4) = 0
2x + pi/4 = pi*k
2x = -pi/4 + pi*k
x2 = -pi/8 + pi/2*k
Ответ: x1 = pi*k; x2 = -pi/8 + pi/2*k

Answer 2

Спасибо большое за подробное и понятное объяснение!!

Answer 3

Большое пожалуйста! :)