Question

Найдите все занчения Х, при которых выполняется равенство f ' (x)=0, если f(x) - cos2x - x(корень из 3) и x€ [0;4п]

Answer 1

Дано: 
$displaystyle f(x)=cos2x-x sqrt{3}$

$displaystyle f`(x)=0$

найдем производную

$displaystyle f`(x)=(cos2x-x sqrt{3})`=(cos2x)`-(x sqrt{3})`=-2sin2x- sqrt{3}$

приравняем к нулю и решим уравнение

$displaystyle -2sin2x- sqrt{3}=0$

$displaystyle -2sin2x= sqrt{3}$

$displaystyle sin2x=- frac{ sqrt{3}} {2}$

$displaystyle 2x= frac{4 pi }{3}+2 pi n; nin Z$
$displaystyle 2x= frac{5 pi }{3}+2 pi n; nin Z$

$displaystyle x= frac{4 pi }{6}+ pi n; nin Z$
$displaystyle x= frac{5 pi }{6}+ pi n; nin Z$

теперь выберем корни на промежутке [0;4π]

$displaystyle 0 leq frac{2 pi }{3}+ pi n leq 4 pi$
$displaystyle - frac{2}{3} leq n leq 4- frac{2}{3}$
$displaystyle 0 leq n leq 3$

$displaystyle x= frac{2 pi }{3}; frac{5 pi }{3}; frac{8 pi }{3}; frac{11 pi }{3}$

второй корень
$displaystyle 0 leq frac{5 pi }{6}+ pi n leq 4 pi$
$displaystyle - frac{5}{6} leq n leq 4- frac{5}{6}$
$displaystyle 0 leq n leq 3$

$displaystyle x= frac{5 pi }{6}; frac{11 pi }{6}; frac{17 pi }{6}; frac{23 pi }{6}$