Question

почему Пётр 3 и Екатерина 2 не сжились

Answer 1

Екатерина Вторая была княжна с маленького княжества в Европе, как она сказала, которую даже на карте не отмечали. 
Елизавета Петровна так запутала ее, что ей пришлось выйти замуж за Петра Третьего, который был безумно зависимый от своих игрушек солдатиков. Да еще по православному обычаю, а не католическому.
Петр Третий был помешан на Пруссии, т.к. там вырос. Как только Елизавета Петровна умерла и пришел к власти, он завершил Семилетнюю войну и вернул все завоеванные у Пруссии земли ей обратно. Естественно, Екатерине это не понравилось, поэтому она попросила князя Орлова ей помочь. Они подкупили гвардию и так она пришла к власти. Еще Петр Третий ей изменял и даже не скрывал это, с княжной Елизаветой Воронцовой (если не ошибаюсь).